sábado, 19 de noviembre de 2016

La paradoja del cumpleaños

Hace un par de días se cumplió un año desde que tome la decisión de empezar a escribir este blog (aquí el artículo debut). 

Para celebrarlo he decidido contar esta famosa "paradoja" sobre precisamente cumpleaños. Pero antes de arrancar, quiero que pienses en un número, concretamente en el número mínimo de personas que necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor al 50%. ¿Lo tienes?, retén ese número. Arrancamos.

La paradoja del cumpleaños

El número de personas que tenemos mínimo que reunir para garantizar que al menos dos de esas personas comparten cumpleaños es de 23. Lo primero es lo primero, esto en el sentido estricto no es una paradoja, es un resultado contraintuitivo (ciertamente 23 no es un resultado intuitivo). Seguramente muchos hayáis pensado en un número mucho mayor. La apuesta predilecta suele ser 183 personas (dividiendo 365 entre 2). 

¿Cuál es el porqué de este resultado? De un primer vistazo se entiende que 23 personas (cumpleaños) es una fracción muy pequeña del total existente, 365 ¿Cómo es posible que la probabilidad sea del 50%? pues debido a que buscamos una repetición entre dos cumpleaños cualesquiera, es decir, se permiten combinaciones. Ya hemos visto lo rápido que es el crecimiento combinatorio en el post sobre las probabilidades de ganar los euromillones. Vamos a verlo de nuevo:
  • Entre dos personas, digamos Cumple1 y Cumple2 solo hay una posibilidad de repetición, que sean iguales, esto es, Cumple1 = Cumple2. 
  • Entre tres personas existen tres posibilidades. Cumple1 = Cumple 2, Cumple 1 = Cumple 3 y Cumple 2 = Cumple 3. 
  • Con cuatro personas ampliamos a seis posibilidades distintas, ya que, (4·3)/2 = 6.
  • Con cinco personas llegamos a diez posibilidades diferentes, (5·4)/2 = 10.
Procediendo de este mismo modo, con 23 personas tenemos (23·22)/2 = 253 parejas de candidatos que potencialmente pueden cumplir años el mismo día. 

Con esta noción vayamos al cálculo puro y duro de las probabilidades. Comencemos calculando las probabilidades de que un número n de personas no cumplan años el mismo día. Asumiremos que hay 365 cumpleaños posibles (el cálculo es ampliable a 366 para considerar años bisiestos). 

$$P\quad =\quad \frac { 365 }{ 365 } ·\frac { 364 }{ 365 } ·\frac { 363 }{ 365 } ·\dots ·\frac { 365-n+1 }{ 365 }$$

Dado que la segunda persona no puede cumplir años el mismo día que la primera (364/365), al igual que la tercera no puede cumplir años ni el mismo día que la primera ni que la segunda (363/365) y así sucesivamente. 

Ahora la probabilidad de que compartan cumpleaños será la complementaria a esta, es decir, 1 - P:

$$1-P\quad =\quad 1-\left[ \frac { 365 }{ 365 } ·\frac { 364 }{ 365 } ·\frac { 363 }{ 365 } ·\dots ·\frac { 365-n+1 }{ 365 }  \right]  $$

Evidentemente la probabilidad será de 1.0 cuando n > 365 (Principio del Palomar).

En base a esta fórmula se puede comprobar que efectivamente para 23 personas la probabilidad es superior al 50%.  P(23) = 0.507, es decir, 50.7%. También puede observarse el rápido crecimiento, para 70 personas la probabilidad es de 0.999.

Existen muchos ejemplos reales de esta paradoja, sobretodo en el fútbol ya que la plantilla típica tiene 23 jugadores. Por ejemplo, en la selección brasileña, Hulk y Pulinho comparten cumpleaños, el 25 de Julio. En la selección francesa, Kanté y Payet también comparten cumpleaños, ¡pero es que además también lo hacen Gignac y Martial!

Toa esta historia cambia cuando se trata de buscar a una persona con la que coincida nuestro cumpleaños. Al no poder formar combinaciones, la probabilidad se ve disminuida drásticamente, La fórmula para calcular dicha probabilidad es:

$$P=1-{ \left( \frac { 364 }{ 365 }  \right)  }^{ n }$$

En este caso para llegar al 50% necesitaríamos 253 personas (sin contarnos a nosotros mismos). 253, el mismo número de parejas que obteníamos para 23 personas en el caso anterior.   

Sorprendentemente en la selección francesa de fútbol, no hay una si no ¡dos personas que cumplen los años el mismo día que un servidor! (Kanté y Payet). 

¿Qué probabilidades hay de que se dé este suceso?

domingo, 6 de noviembre de 2016

Tu peso en un ascensor y sumergido en una piscina

Después de mucho tiempo sin escribir (últimamente he estado mucho más liado de lo que esperaba) vuelvo con un artículo relacionado con eso a lo que llamamos peso. 

Diferencia entre peso y masa

Masa y peso son dos conceptos diferentes. En nuestra vida cotidiana es muy común confundir un término con otro y escuchar frases como: "Peso 80 kg" (en mi caso 86) cuando lo más correcto sería decir: "poseo una masa de 80 kg y peso (la Tierra me atrae con una fuerza de) 80·9,8 = 784 Newtons" (se ha considerado la gravedad terrestre igual a 9,8 m/s2).

De esta forma, podríamos decir rápidamente que la masa es una medida física de la cantidad de materia que posee un cuerpo, mientras que el peso sería la fuerza causada sobre dicho cuerpo debida al campo gravitatorio (en este caso de la Tierra). 

En base a esto, la frase: "En la Luna pesas menos que en la Tierra" sería completamente correcta (desde el punto de vista de la física), ya que el campo gravitatorio lunar es más débil que el terrestre, luego la Luna nos atrae con menor fuerza que la Tierra. 

Tu peso en un ascensor

Imaginemos que estamos dentro de un ascensor y que, además, estamos subidos a una báscula mecánica. Antes de continuar comprendamos como funciona una báscula de muelles. Este tipo de básculas se basan en la deformación elástica producida en un muelle debido a nuestro peso. Debido a esto, calcular nuestra masa es muy simple por la ecuación F = m·g, donde F es la fuerza ejercida (peso), m nuestra masa y g la constante de gravedad terrestre igual a 9,8 m/s2. Sabiendo que esta última es constante (la Tierra no es caprichosa* y siempre nos atrae con la misma fuerza), obtener nuestra masa corporal es tan sencillo como dividir la fuerza obtenida entre la constante gravitatoria.
*En realidad lo es, pero las variaciones son prácticamente despreciables.

Dicho esto, supongamos que nos encontramos en el interior de un ascensor en reposo (detenido) subidos a una báscula. Decidimos pulsar el botón de subir, y el ascensor acelera, alcanza su velocidad de subida y luego frena al llegar al piso marcado. En el momento que el ascensor acelera, nuestra báscula marca más "kilos" que los que realmente tenemos. ¿Por qué?, el motivo es que además de la aceleración terrestre, g, está actuando la aceleración, a, debida a la subida del ascensor.

Lo mismo ocurre cuando una vez arriba pulsamos el botón de bajar, solo que en este caso, la aceleración "nos hace adelgazar", puesto que actúa en dirección contraria a la fuerza que esta ejerciendo la báscula para equilibrar nuestro peso.

Vamos a salir de este problema pensando en un caso límite, imaginad, por un momento, que estando en un cuarto piso, el cable del ascensor se rompe y este empieza a caer. En este momento experimentaríamos una sensación de "flotar". La razón de que esto sea así es que en ese momento no hay nada que soporte nuestro peso, estamos en caída libre. Esta sensación es muy frecuente en atracciones como, por ejemplo el barco pirata que oscila de un lado a otro. Cuando el barco llega al punto más alto, la velocidad se hace nula y la aceleración es máxima. Justo en ese momento es cuando experimentamos la sensación de ingravidez.

Esquema de fuerzas para un ascensor en subida y bajada

Tu peso en el agua. Determinación de la grasa corporal

Una de las aplicaciones prácticas del peso aparente viene del Principio de Arquímedes. Cuando sumergimos un cuerpo en agua, su peso también varía. Una forma de medir el peso en el agua es mediante un dinamómetro (ver siguiente imagen extraída de Wikipedia).


El concepto de medición es el mismo, salvo que ahora colgamos el cuerpo del muelle en lugar de comprimirlo en una báscula. El caso es que sabiendo cuanto pesamos dentro del agua en tanto por ciento a lo que pesamos fuera, podemos determinar el porcentaje de grasa corporal mediante la siguiente formula a la que se puede llegar tras un breve desarrollo matemático de las ecuaciones de Arquímedes (pinchar aquí para ver el desarrollo).

$$ FactorPeso\quad =\quad \frac { 1 }{ 1-Pag } $$

El Peso en el agua, Pag, debe ser dado en tanto por 1, es decir, si dentro del agua pesamos un 4% de lo que pesamos normalmente, tenemos que Pag = 0.04, y FactorPeso = 1/0.96 = 1.04.

$$ { C }_{ grasa }=\frac { 1-({ \rho  }_{ resto }/FactorPeso·{ \rho  }_{ agua }) }{ 1-({ \rho  }_{ resto }/{ \rho  }_{ grasa }) } $$

Se puede estimar la densidad media humana (sin considerar la grasa) de 1,1 g/cm y de la grasa de 0.9 g/cm. Según la siguiente ecuación, cuanto menos pesamos dentro del agua, mayor % de grasa corporal poseemos. Esto es lógico dado que la grasa es menos densa que el agua (tan solo hay que ver que pasa cuando echamos agua y aceite en el mismo vaso, este último flota, debido a que es menos denso que el agua).

domingo, 4 de septiembre de 2016

Menú para un Domingo de Acertijos (IV):

Hola a todos otra vez, sé que he estado mucho tiempo sin escribir acertijos (más de uno me lo habéis recordado...), pero bueno, ya sabéis, cosas del verano y las vacaciones jeje. Pero ahora con la vuelta al cole (al trabajo, rutina, etcétera, según aplique) os vuelvo a traer unos cuantos rompecabezas para activar la mente después de las vacaciones. Eso sí, lo primero es lo primero, la solución al último acertijo que dejé en el blog.

Solución:

Para ver la solución hay que dejar de pensar en números romanos, moviendo el palito del dos de la derecha convertimos nuestra relación de 2 igual a 6 en números romanos, a raíz de uno igual a 1. Siendo justos esta solución no es del todo correcta, ya que la raíz de uno es uno y menos uno. Un compañero de trabajo me dio otra solución que considero aún mejor. Moviendo el palito de la izquierda del 5 en números romanos, podemos convertir el 6 (VI) en un 11 (XI) en números romanos, y ver la otra parte de la igualdad como dos unos, es decir, 11, de modo que también se verifica la igualdad. 

Este problema me parecía muy interesante porque anima a pensar desde otra perspectiva.


Y ahora vamos con los acertijos para este Domingo.

Aperitivo: los relojes de la habitación de Fermat

Si alguien no ha visto la película española de la habitación de Fermat, recomiendo que lo hagáis en cuanto encontréis un hueco. En la película se plantean varios problemas y acertijos, mi favorito es el siguiente:

"Cronometrar 9 minutos con dos relojes de arena de 7 y 4 minutos".

Primero: el problema de las ocho reinas

El ajedrez tiene algunos de los problemas mentales más divertidos de realizar, hoy os quiero proponer el conocido como problema de las ocho reinas. Este problema nos dice de situar ocho reinas en el tablero de ajedrez de manera que no se vean amenazadas entre ellas. El siguiente esquema nos da una idea de las posiciones que se sienten amenazada por una reina situada en el tablero.


Segundo: un juego no equilibrado

Este juego es conveniente realizarlo con otra persona. El funcionamiento del juego es el siguiente: Se colocan 20 fichas en el centro y cada jugador puede retirar una o dos fichas(a elección del jugador). Los jugadores juegan en turnos alternados. Después de varias partidas ¿Que es lo que ocurre?, ¿Y cual es la explicación?

Postre: pensamiento lateral

Últimamente la he cogido con este tipo de acertijos, pues me parecen muy interesantes ya que no obedecen a una lógica convencional y requieren de creatividad. 

Para empezar uno de los más famosos y fáciles:"Un hombre vive en el décimo piso de un edificio. Cada día toma el ascensor hasta la planta baja para dirigirse al trabajo o ir de compras. Cuando regresa, siempre sube en el ascensor hasta el séptimo piso y luego por la escalera los restantes tres pisos hasta su apartamento en el décimo. ¿Por qué lo hace?"

Pues nada, a entretenerse y (espero) que hasta el Domingo que viene.

viernes, 19 de agosto de 2016

El desorden completo es imposible

Trivial pero sorprendente: El Principio del Palomar

El principio del palomar o principio de Dirichlet, establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, es decir, hay más palomas que palomares, al menos habrá un palomar con más de una paloma. Hasta aquí todo bien, no hemos descubierto la cuadratura del circulo, ya que lo que básicamente dice este principio es que si tenemos un determinado número de huecos (llamemos a este número m) para almacenar un determinado número de objetos (digamos por ejemplo un número n de objetos) si el número de objetos, n, es mayor que el número de huecos, m, necesariamente habrá un hueco con al menos dos objetos. 

A priori este resultado puede parecer trivial (de hecho lo es), ya que tan siquiera necesita demostración debido precisamente a su simplicidad, pero es un principio muy potente con aplicaciones en campos tan diversos como la teoría de grafos, combinatoria, ciencias de la computación, teoría de números, etcétera.

De la mano de este principio podemos demostrar cosas muy interesantes, por ejemplo, la cantidad de pelos en la cabeza va desde cero hasta unos 100.000 ó 150.000 (considerando solo el cuero cabelludo y según lo que dice nuestra querida amiga Wikipedia) y para curarnos en salud vamos a pensar que existe alguien híper-peludo con 1.000.000 de pelos en la cabeza. Aplicando el principio del palomar tenemos que como en España hay unos 46 millones de personas (estas serían las palomas) y que podemos tener gente con cero pelos hasta 1.000.000 (estos son los palomares, es decir, desde el palomar en el que clasificamos a la gente con cero pelos hasta la gente híper-peluda con 1.000.000 de pelos) necesariamente al menos dos personas tienen exactamente el mismo número de pelos, no solo en España, en cualquier país con más de un millón de habitantes. 

Sin embargo, no solo podemos garantizar que al menos dos personas tendrán el mismo número de pelos en la cabeza, podemos ir más allá. Dividiendo m/n obtenemos una aproximación más real del número mínimo de personas que deben compartir número de pelos en la cabeza (o palomas que comparten palomar). Entonces dividiendo la población de España (46 millones) entre el número de pelos (1 millón) tenemos que hay al menos 46 personas que comparten palomar, es decir, que tienen exactamente el mismo número de pelos en la cabeza.

Un paso más allá: Teoría de Ramsey

Como ya se podría apreciar en el título de esta entrada, el desorden completo es muy difícil (sino imposible) de conseguir. Por ejemplo, en la siguiente imagen, los puntos que aparecen han sido generados de manera aleatoria (20 puntos con sus coordenadas x e y generadas al azar mediante la función ALEATORIO() de Excel). Sin embargo, es fácil encontrar algunos patrones como cuadrados, cruces, puntos que se hayan por debajo de un nivel, zonas monótonamente crecientes, monótonamente decrecientes, etcétera.

De esto mismo se dio cuenta el matemático Frank P. Ramsey, y estudió las condiciones mínimas bajo las cuales el orden debe aparecer. En su honor, la teoría lleva su nombre. Los problemas de esta teoría son de la forma: ¿Cuántos elementos debe contener una estructura para garantizar la existencia de una propiedad particular?. Dicho de otra manera, cuando un conjunto es lo suficientemente grande, podemos encontrar patrones (orden) dentro de dicho conjunto.


Al observar la gráfica anterior la sensación es similar a cuando observamos un cielo estrellado lejos de la gran ciudad para evitar la contaminación lumínica. Si hay suficientes estrellas siempre podremos hacer todo tipo de formas geométricas tales como un triangulo, un cuadrado, etcétera. En este sentido, un resultado es el denominado problema del final feliz nombrado así por Paul Erdős. Este problema representa uno de los primeros resultados de la teoría de Ramsey y dice así:

"Cualquier conjunto de 5 puntos en el plano en posición general (no colineales) tiene un subconjunto de 4 puntos que son los vértices de un cuadrilátero convexo".

Cabe resaltar que existen otros problemas con resultados sorprendentes de la teoría de Ramsey, como el Teorema de Ramsey Infinito que nos dice que si tenemos un conjunto infinito y distribuimos sus elementos en un número finito de cajas, entonces hay una caja que contiene infinitos elementos.
Otro resultado interesante es el Teorema de Bolzano, en este caso el teorema enuncia: Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita creciente o decreciente.

Y mi favorito, el Teorema de la Amistad, cuyo enunciado es el siguiente: Supongamos que en una fiesta hay seis personas. Consideremos a dos personas cualesquiera de estas seis. Puede ser que estas dos personas no se conozcan, en cuyo caso los llamaremos mutuamente extraños. Por otra parte es posible que estas dos personas ya se conocieran, en cuyo caso los llamaremos mutuamente conocidos. Ahora el Teorema de la Amistad dice:

"En cualquier grupo de seis personas existen tres personas que son  mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas".

Para demostrar esto vamos a tirar de una vieja conocida en este blog, la teoría de grafos. En nuestro grafo, cada uno de las personas de la fiesta será un vértice, denotaremos si estos son mutuamente conocidos con una línea verde, si por el contrario son mutuamente desconocidos estableceremos la conexión entre esas dos personas mediante una línea roja. El siguiente grafo muestra una de las posibles combinaciones.


Una forma de comprobar el resultado es mediante fuerza bruta (algo muy común en problemas de Teoría Ramsey), en otras palabras, evaluando los 78 grafos posibles. No obstante en este caso disponemos de una alternativa más eficiente gracias a la teoría de grafos.

Sobre cualquier vértice del grafo inciden 5 aristas, que pueden ser de color rojo o de color verde. Según el principio del palomar, al menos tres aristas tienen el mismo color (que es lo que nos dice el teorema), ya que si hay menos de tres aristas de un color, digamos verde, necesariamente habrá al menos tres del color contrario, rojo.

Para terminar esta entrada, voy a tirar de una de esas frases que muchos (me incluyo) empleamos cuando alguien nos cambia algo de sitio: "Déjalo como esta que yo entiendo mi orden". Ahora la podemos decir con más razón aún. 

jueves, 4 de agosto de 2016

¿De dónde viene el nombre de Google?

Un matemático de paseo con su sobrino

Edward Kasner fue un matemático estadounidense que realizó sus mayores aportaciones matemáticas al campo de la geometría diferencial en el espacio euclídeo. Sin embargo, la aportación por la cual es más conocido es por una explicación de matemáticas elementales sobre el infinito mediante un número ideado por su sobrino, el gúgol (googol, en inglés). Durante un paseo, Edward Kasner le pidió a su sobrino Milton Sirotta (de tan solo 9 años de edad) acerca del nombre que deberían darle a un número muy, muy grande, un uno seguido de cien ceros, a lo que el niño contesto "Googol". Kasner decidió mencionar este número en un libro llamado Matemáticas e imaginación.

$$1\quad gúgol\quad =\quad { 10 }^{ 100 }$$

La idea de este número es que por muy grande que fuese, en este caso un uno seguido de cien ceros, debería de tener un nombre puesto que este número aún se encontraba muy lejos del infinito. De modo que el niño decidió pensar en un número aún mayor, aunque finito, el googolplex, que inicialmente definió como un uno seguido de tantos ceros como la persona pudiera escribir antes de cansarse. Pero como en matemáticas nos gustan las definiciones estándar (y resulta que hay personas que se cansan de escribir antes que otras), Kasner decidió poner un límite a este número, y un gúgolplex sería un uno seguido por un gúgol de ceros. Para que nos hagamos una idea del tamaño de este número, si colocásemos todos los ceros de un gúgolplex en línea sobre una hoja de papel dicha hoja no entraría dentro del universo conocido. Y aún así, este número seguirá siendo finito. 

$$1\quad gúgolplex\quad =\quad { 10 }^{ gúgol }={ 10 }^{ { 10 }^{ 100 } }$$

Estos números no tienen ninguna aplicación práctica, su único interés reside en precisamente explicar el concepto de infinito, puesto que por propia definición el infinito hace referencia precisamente a una cantidad sin limite o final. Por tanto es mas grande que cualquier cantidad numérica que podamos imaginarnos, y eso que existen números monstruosamente grandes como el número de Graham, el cual es tan grande que no puede ser escrito utilizando notación matemática convencional.

Dos estudiantes de posgrado muy optimistas

En 1996, dos estudiantes de posgrado en ciencias de la computación en la Universidad de Stanford comenzaron un proyecto para conseguir un buscador alternativo al de la época, AltaVista, el cual había sido creado en 1995. El nombre originario de este buscador era BackRub, pero sus creadores, Larry Page y Serguéi Brin decidieron cambiarle el nombre a Google, inspirados por el término matemático googol, pues esperaban conseguir organizar la gran cantidad de información de la web con su buscador. Asimismo las oficinas de Google son conocidas como Googleplex, haciendo clara referencia al número gúgolplex, remarcando de nuevo el afán de organizar la gran cantidad de información disponible en Internet.